Question

已知圓C₁：(x+3)²+y²=1和圓C₂：（x-3）²+y²=9,動圓M同時與圓C₁及圓C₂相外切，求動圓圓心M的軌跡方程.

Answer 1

x²-="1" (x≤-1)

如圖所示，設動圓M與圓C₁及圓C₂分別外切于點A和點B，根據兩圓外切的充要條件，得
|MC₁|-|AC₁|=|MA|，
|MC₂|-|BC₂|=|MB|.
因為|MA|=|MB|，
所以|MC₂|-|MC₁|=|BC₂|-|AC₁|=3-1=2.
這表明動點M到兩定點C₂，C₁的距離之差是常數2.
根據雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到C₂的距離大，到C₁的距離小），這里a=1,c=3,則b²=8,設點M的坐標為（x,y）,其軌跡方程為x²-="1" (x≤-1).