Question

（09年湖北八校聯(lián)考理）（12分）如圖，已知正三棱柱各棱長都為，為棱上的動點。

（Ⅰ）試確定的值，使得；

（Ⅱ）若，求二面角的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點到面的距離。

Answer 1

解析：【法一】（Ⅰ）當時，作在上的射影. 連結.

則平面，∴，∴是的中點，又，∴也是的中點，

即.  反之當時，取的中點，連接、.

∵為正三角形，∴.   由于為的中點時，

∵平面，∴平面，∴.……4′

（Ⅱ）當時，作在上的射影. 則底面.

作在上的射影，連結，則.

∴為二面角的平面角。

又∵，∴，∴.

∴，又∵，∴.

∴，∴的大小為.…8′

（Ⅲ）設到面的距離為，則，∵，∴平面,

∴即為點到平面的距離，

又，∴.

即，解得.即到面的距離為.12′

【法二】以為原點，為軸，過點與垂直的直線為軸，

為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，則、、.

（Ⅰ）由得，

即，∴，即為的中點，

也即時，.…………4′

（Ⅱ）當時，點的坐標是.  取.

則，.

∴是平面的一個法向量。

又平面的一個法向量為.

∴，∴二面角的大小是.……8′

（Ⅲ）設到面的距離為，則，∴到面的距離為.