Question

設函數f(x)=

ax2+bx+1

x+c

(a＞0)為奇函數，且|f(x)|min=2

2

，數列{a_n}與{b_n}滿足如下關系：a1=2，an+1=

f(an)-an

2

，bn=

an-1

an+1

.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求數列{b_n}的通項公式b_n；
（3）記S_n為數列{a_n}的前n項和，求證：對任意的n∈N^*有Sn＜n+

3

2

.

Answer 1

分析：（1）由f（x）是奇函數，得b=c=0，由|f(x)|min=2

2

，得a=2，由此可知f（x）的解析式．
（2）由題設條件知bn+1=

an+1-1

an+1+1

=

a 2 n +1 2an -1

a 2 n +1 2an +1

=

a 2 n -2an+1

a 2 n +2an+1

=(

an-1

an+1

)2=

b

2 n

，由此入手可導出bn=(

1

3

)2n-1
（3）對任意的n∈N^*有Sn＜n+

3

2

.等價于

2

321-1-1

+

2

322-1-1

++

2

32n-1-1

＜

3

2

，由此可合問題得證．

解答：解：（1）由f（x）是奇函數，得b=c=0，
由|f(x)|min=2

2

，得a=2，故f(x)=

2x2+1

x

.
（2）∵an+1=

f(an)-an

2

=

a 2 n +1

2an

∴bn+1=

an+1-1

an+1+1

=

a 2 n +1 2an -1

a 2 n +1 2an +1

=

a 2 n -2an+1

a 2 n +2an+1

=(

an-1

an+1

)2=

b

2 n

∴bn=

b

2 n-1

=

b

4 n-2

═

b

2n-1 1

，
而b1=

1

3

，∴bn=(

1

3

)2n-1
（3）證明：由（2）

an-1

an+1

=(

1

3

)2n-1?an=

1+( 1 3 )2n-1

1-( 1 3 )2n-1

=

32n-1+1

32n-1-1

=1+

2

32n-1-1

要證明的問題即為

2

321-1-1

+

2

322-1-1

++

2

32n-1-1

＜

3

2

當n=1時，2^n-1=n
當n≥2時，2^n-1=（1+1）^n-1≥C_n-1⁰+C_n-1¹=n∴2^n-1≥n
則32n-1≥3n=3×3n-1=2×3n-1+3n-1≥2×3n-1+1
故

2

32n-1-1

≤(

1

3

)n-1
則

2

321-1-1

+

2

322-1-1

++

2

32n-1-1

≤1+

1

3

+(

1

3

)2++(

1

3

)n-1=

[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

3

2

-

3

2

(

1

3

)n＜

3

2

得證．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．