Question

（本小題滿分12分）

如圖，正三棱錐的三條側棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過作平面與側棱、、或其延長線分別相交于、、，已知。

（1）求證：⊥平面；

（2）求二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析。

（2）

【解析】（1）證明：依題設，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點，所以⊥，則⊥。

因為⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，連。因為⊥平面，

根據三垂線定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，則∥，則是的中點，則。

設，由得，，解得，

在中，，則，。

所以，故二面角為。

 

解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

（2）由已知設

則

由與共線得:存在有得

 

同理:

設是平面的一個法向量,

則令得 

又是平面的一個法量

所以二面角的大小為