Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x²+2x，若過(guò)f（x）圖象上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線(xiàn)為l：y=kx，求k的值和P的坐標(biāo)．

Answer 1

易見(jiàn)O（0，0）在函數(shù)y=x³-3x²+2x的圖象上，y′=3x²-6x+2，但O點(diǎn)未必是切點(diǎn)．
根據(jù)題意可知切點(diǎn)為點(diǎn)P（x₀，y₀），
∵y′=3x²-6x+2，
∴切線(xiàn)斜率為3x₀²-6x₀+2，又切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，
∴kx0=

y0

x0

=3x₀²-6x₀+2即：y₀=3x₀³-6x₀²+2x₀①
又∵切點(diǎn)A（x₀，y₀）y=x³-3x²+2x的圖象上，
∴y₀=x₀³-3x₀²+2x₀②
由①②得：x₀=0或x₀=

3

2

，
∴切線(xiàn)的斜率為-

1

4

．
∴k=-

1

4

，P(

3

2

，-

3

8

)．