Question

設圓錐曲線r的兩個焦點分別為F₁，F₂，若曲線r上存在點P滿足|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，則曲線r的離心率等于

1

2

或

3

2

．

Answer 1

分析：根據|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，不妨設|PF₁|=4m，|F₁F₂|=3m，|PF₂|=2m，再進行分類討論，確定曲線的類型，從而求出曲線r的離心率．

解答：解：根據|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，不妨設|PF₁|=4m，|F₁F₂|=3m，|PF₂|=2m，
∴|PF₁|+|PF₂|=6m＞|F₁F₂|=3m，此時曲線為橢圓，且曲線r的離心率等于

3m

6m

=

1

2

；
|PF₁|-|PF₂|=2m＜|F₁F₂|=3m，此時曲線為雙曲線，且曲線r的離心率等于

3m

2m

=

3

2

，
故答案為：

1

2

或

3

2

點評：本題重點考查圓錐曲線的定義，考查曲線的離心率，正確判斷曲線的類型是解題的關鍵．