Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．
①當x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在這樣的點P，使∠OQA為直角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），
∴

9a+3b+2=0 36a+6b+2=0

，
解得：

a= 1 9 b=-1

，
∴所求拋物線的函數表達式是y=

1

9

x2-x+2；
（2）①∵當x=0時，y=2，
∴點C的坐標為（0，2），
設直線BC的函數表達式是y=kx+b，
則有

6k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 3 b=2

，
∴直線BC的函數表達式是y=-

1

3

x+2，
∵0＜x＜6，
∴PQ=yQ-yP=(-

1

3

x+2)-(

1

9

x2-x+2)=-

1

9

x2+

2

3

x
=-

1

9

(x-3)2+1．
∴當x=3時，線段PQ的長度取得最大值，最大值是1；
②存在這樣的點P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)，使∠OQA為直角．
事實上，
當∠OQA=90°時，設PQ與x軸交于點D，
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，∴∠OQD=∠QAD，
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，∴△ODQ∽△QDA，
∴

DQ

OD

=

DA

DQ

，即DQ²=OD•DA．
∴(-

1

3

x+2)2=x(3-x)，整理得：10x²-39x+36=0．
∴x1=

3

2

，x2=

12

5

．
∴y1=

1

9

×(

3

2

)2-

3

2

+2=

3

4

，y2=

1

9

×(

12

5

)2-

3

2

+2=

6

25

．
∴P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)．
∴所求的點P的坐標是P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)．