Question

如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點分別在棱,上移動，且.
當時，證明：直線平面；
是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）由正方體的性質得，當時，證明，由平行于同一條直線的兩條直線平行得，根據線面平行的判定定理證明平面；（2）解法1，如圖2，連結，證明四邊形與四邊形是等腰梯形，分別取、、的中點為、、，連結、，證明是平面與平面所成的二面角的平面角，設存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，求出的值；解法2，以為原點，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標系，用向量法求解.
幾何法：
（1）證明：如圖1，連結，由是正方體，知，
當時，是的中點，又是的中點，所以，
所以，
而平面，且平面，
故平面.
（2）如圖2，連結，因為、分別是、的中點，
所以，且，又，，
所以四邊形是平行四邊形，
故，且，
從而，且，
在和中，因為，，
于是，，所以四邊形是等腰梯形，
同理可證四邊形是等腰梯形，
分別取、、的中點為、、，連結、，
則，，而，
故是平面與平面所成的二面角的平面角，
若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則，
連結、，則由，且，知四邊形是平行四邊形，
連結，因為、是、的中點，所以，
在中，，，
，
由得，解得，
故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.
向量法：
以為原點，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標系，

由已知得，
所以，，，
（1）證明：當時，，因為，
所以，即，
而平面，且平面，
故直線平面.
（2）設平面的一個法向量，
由可得，于是取，
同理可得平面的一個法向量為，
若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，
則，
即，解得，
故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.