Question

【題目】已知函數f（x）＝x＋，且此函數的圖象過點（1，5）．

（1）求實數m的值并判斷f（x）的奇偶性；

（2）判斷函數f（x）在[2，＋∞）上的單調性，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）m＝4，奇函數；（2）f（x）在[2，＋∞）上單調遞增，證明見解析．

【解析】

試題（1）函數圖象過點（1，5）將此點代入函數關系式求出m的值即可，因為函數定義域關于原點對稱，需要判斷函數是否滿足關系式或者．滿足前者為偶函數，滿足后者為奇函數，否則不具有奇偶性．此題也可以將看做與兩個函數的和，由的奇偶性判斷出的奇偶性．（2）利用函數單調性的定義式：區間上的時，的正負來確定函數在區間上的單調性．

試題解析：（1）（1）∵f（x）過點（1，5），

∴1＋m＝5m＝4．

對于f（x）＝x＋，∵x≠0，

∴f（x）的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），關于原點對稱．

∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）．

∴f（x）為奇函數．

另解：，，定義域均與定義域相同，因為為奇函數，因此可以得出也為奇函數．

（2）證明：設x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，

則f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）＋＝．

∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，

∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2>0．

∴f（x1）－f（x2）<0．

∴f（x）在[2，＋∞）上單調遞增．