Question

已知曲線C₁：（a＞b＞0）所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C₁的內切圓半徑為，記C₂為以曲線C₁與坐標軸的交點為頂點的橢圓。
（1）求橢圓C₂的標準方程；
（2）設AB是過橢圓C₂中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點。
（i）若|MO|=λ|OA|（O為坐標原點），當點A在橢圓C₂上運動時，求點M的軌跡方程；
（ii）若M是l與橢圓C₂的交點，求△AMB的面積的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意得
又
解得，
因此所求橢圓的標準方程為。
（2）（i）假設AB所在的直線斜率存在且不為零，設AB所在直線方程為，
解方程組得，
所以
設，由題意知，
所以，
即，
因為l是AB的垂直平分線，
所以直線l的方程為，
即，
因此，
又，
所以，
故
又當或不存在時，上式仍然成立
綜上所述，M的軌跡方程為。
（2）當k存在且時，由（i）得，，
由解得，，
所以，，
由于



，
當且僅當時等號成立，即時等號成立，
此時面積的最小值是
當，
當k不存在時，
綜上所述，的面積的最小值為。