Question

（21）已知點(diǎn)的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中x₁=0，x₂＝a（a＞0），A₃是線段A₁A₂的中點(diǎn)，A₄是線段A₂A₃的中點(diǎn)，…，A_n是線段A _n－2A _n－1的中點(diǎn)，….

 

（Ⅰ）寫出x_n與x _n－1、x _n－2之間的關(guān)系式（n≥3）；

 

（Ⅱ）設(shè)a_n＝x _n＋1－x_n，計(jì)算a₁，a₂，a₃，由此推測(cè)數(shù)列｛a_n｝的通項(xiàng)公式，并加以證明；

 

（Ⅲ）求x_n.

Answer 1

（21）本題主要考查直線與橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析解決問(wèn)題的能力.

（Ⅰ）解：當(dāng)n≥3時(shí)，x_n＝.

（Ⅱ）解：a₁＝x₂－x₁＝a，

 

a₂＝x₃－x₂＝－x₂＝－（x₂－x₁）＝－a，

 

a₃＝x₄－x₃＝－x₃＝－（x₃－x₂）＝－（－a）＝（a）

 

由此推測(cè)a_n＝（－）^n－1a（n∈N）.

證法一：

因?yàn)?I>a₁＝a＞0，且a_n＝x_n＋1－x_n＝－x_n＝＝－（x_n－x_n－1）＝－a_n－1

（n≥2），

 

所以a_n＝（－）^n－1（a）

 

證法二：

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（i）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=x_2－x₁=a=（）⁰a，公式成立.

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，公式成立，即a_k=()^k－1a成立.

那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

 

a_k＋1＝x_k＋2－x_k＋1＝－x_k＋1＝－（x_k＋1－x_k）＝－a_k＝－（－）^k－1a

 

＝（－）^{（k＋1）－1}a，公式仍成立.

 

根據(jù)（i）與（ii）可知，對(duì)任意n∈N，公式a_n＝（－）^n－1a成立.

（Ⅲ）解：當(dāng)n≥3時(shí)，有

x_n＝（x_n－x_n－1）＋（x_n－1－x_n－2）＋…＋（x₂－x₁）＋x₁＝a_n－1＋a_n－2＋…＋a₁，

 

由（Ⅱ）知｛a_n｝是公比為－的等比數(shù)列，

 

所以x_n＝（a）.