Question

170、偶函數y=f（x）在區間[-1，0]上單調遞增，且滿足f（x+1）=-f（x-1），下列判斷：①f（5）=0；②f（x）沒有最小值；③f（x）的圖象關于直線x=1對稱；④f（x）在x=0處取得最大值．其中正確的判斷序號是

①④

．

Answer 1

分析：首先根據f（x）在區間[-1，0]上單調遞增且是偶函數，可判斷f（x）在[0，1]上單調遞減，根據f（x+1）=-f（x-1）可推出f（x+2）=-f（x）和（x+4）=f（x），進而可推斷函數在[1，2]單調減，在[2，3]和[3，4]上單調增而且函數為以4為周期的函數．進而可畫出函數的示意圖，根據示意圖判斷①②③④的正誤．

解答：解：f（x+1）=-f（x-1）
∴f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴函數f（x）是以4為周期的函數．
∵函數f（x）為偶函數，
∴y=f（x）在區間[0，1]上單調遞減，
又∵f（x+2）=-f（x）
函數f（x）在[1，2]上的圖象與在[-1，1]上的圖象關于點（1，0）對稱，故③不正確．
故函數在[-1，1]上的示意圖如下
∴當x=0時
f（0+1）=-f（0-1）=-f（1）
∴f（1）=0
∴f（5）=f（4+1）=f（1）=0
故①正確．
如示意圖，f（2）為函數的最小值，f（0）=f（4）為函數最大值．故②不正確，④正確．
故答案為：①④

點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性的綜合應用．解此類題常可根據其奇偶性和對稱性畫出函數的示意圖，根據示意圖來解題，較為方便直觀．