Question

平面EFGH分別平行空間四邊形ABCD中的CD與AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H．CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證EFGH為矩形；
（2）點E在什么位置，S_EFGH最大？

Answer 1

分析：（1）根據線面平行的性質，得AB∥GH且AB∥EF，所以GH∥EF，同理可得EH∥FG，因此得到四邊形EFGH是平行四邊形．再根據CD⊥AB和AB∥EF、EH∥CD，得EF⊥EH，所以四邊形EFGH為矩形．
（2）AG=x，AC=m，根據平行線分線段成比例定理，得GF=

b

m

（m-x），GH=

a

m

x，從而得到S_EFGH=

ab

m 2

（mx-x²），結合二次函數的圖象與性質，得當x=

m

2

時，S_EFGH的最大值為

ab

4

．

解答：解：（1）∵AB∥平面EFGH，AB?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=GH，
∴AB∥GH，同理可得AB∥EF，
∴EF∥GH，同理可得EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∵AB⊥CD，EH∥CD，∴AB⊥EH
又∵AB∥EF，∴EF⊥EH，
∴四邊形EFGH為矩形．
（2）AG=x，AC=m，則

GH

a

=

x

m

，得GH=

a

m

x

GF

b

=

m-x

m

，GF=

b

m

（m-x）
S_EFGH=GH•GF=

a

m

x•

b

m

（m-x）
=

ab

m 2

（mx-x²）=

ab

m 2

（-x²+mx-

m2

4

+

m2

4

）
=

ab

m 2

[-（x-

m

2

）²+

m2

4

]
當x=

m

2

時，S_EFGH最大=

ab

m 2

•

m2

4

=

ab

4

．

點評：本題給出平行于四面體相對棱的截面，判定截面的形狀并且求截面面積的最大值，著重考查了線面平行性質定理、平行線分線段成比例定理和二次函數的最值等知識，屬于基礎題．