Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函數(shù)，g（x）=x-a

x

在（0，1）上是減函數(shù)．
（1）求f（x）、g（x）的表達式；
（2）試判斷關于x的方程

1

2

f（x）=g（x）+2在（0，+∞）根的個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求f′（x）=2x-

a

x

，由已知條件即知2x-

a

x

≥0在（1，2]上恒成立，從而能求出a≤2，同樣的辦法求g′（x），可以得到a≥2，所以便得到a=2，這樣便能得到f（x），g（x）的解析式；
（2）設h（x）=

1

2

f(x)-g(x)-2=

1

2

x2-lnx-x+2

x

-2，根據(jù)題意要求原方程的實數(shù)根的個數(shù)，只要求函數(shù)h（x）的零點個數(shù)即可．可通過求h′（x），能夠判斷出x=1時h（x）取最小值，并且求出h（1）判斷h（1）的符號：h（1）=-

1

2

＜0，所以便可得到函數(shù)h（x）有兩個零點，所以原方程有兩個實數(shù)根．

解答： 解：（1）由f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，得：
在（1，2]上，f′（x）=2x-

a

x

≥0；
即在（1，2]上a≤2x²恒成立；
∵2x²＞2；
∴a≤2；
g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，可得：
在（0，1）上，g′（x）=1-

a

2 x

≤0；
即a≥2

x

；
∵2

x

＜2；
∴a≥2；
綜合可得，a=2，函數(shù)f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

；
（2）令h（x）=

1

2

f（x）-g（x）-2=

1

2

x²-lnx-x+2

x

-2，本題即求函數(shù)h（x）的零點個數(shù)；
h′（x）=x-

1

x

-1+

1

x

=

x ( x -1)

x x

；
∴x∈（0，1）時，h′（x）＜0；x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0；
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值為h（1）=-

1

2

＜0；
因此函數(shù)h（x）有兩個零點，即原方程有2個根．

點評：考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的范圍，函數(shù)零點的概念，以及函數(shù)零點和對應方程根的關系，以及根據(jù)函數(shù)的導數(shù)符號求函數(shù)最值的方法．