Question

【題目】一個圓經過點，且和直線相切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）已知點，設不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩點，若軸是的角平分線，證明直線過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）圓心到定點與到定直線的距離相等，可知圓心的軌跡是以點為焦點的拋物線，求出方程即可；

（2）易知直線斜率存在且不為零，可設直線，設，，聯立直線與拋物線方程，可得關于的一元二次方程，由軸是的角平分線，可得，整理可求得，再結合韋達定理，從而可求得的值，進而可求得直線過定點.

（1）由題意，圓心到定點與到定直線的距離相等，

根據拋物線的定義可知，圓心的軌跡是以點為焦點的拋物線，其方程為.

（2）由題可知，直線與C有兩個交點且不垂于于軸，

所以直線斜率存在且不為零，設直線，，，

聯立，可得，

則，且，，

又，，軸是的角平分線，

所以，整理可得，

所以，即，此時滿足，故：，

所以，直線PQ過定點.