Question

【題目】已知函數（）．

（Ⅰ）若曲線上點處的切線過點，求函數的單調減區間；

（Ⅱ）若函數在上無零點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由導數幾何意義得切線斜率，再由點斜式得切線方程，代入點可解得，再根據函數導函數小于零，解得單調減區間；（Ⅱ）先由題意得，恒成立，再變量分離轉化為對應函數最值：的最大值，最后利用導數求函數，最大值，經過二次求導可得在區間內為增函數，，因此.

試題解析：（Ⅰ）因為，所以，

所以，又，所以，得，

由，得，所以函數的單調減區間為．

（Ⅱ）因為當→時，，所以在區間內恒成立不可能．　所以要使函數在區間內無零點，只要對任意的，恒成立，即對，恒成立．

令，，則．

再令，，則 ，

所以在區間內為減函數，所以，

∴．

于是在區間內為增函數，所以，

所以要使恒成立，只要．

綜上，若函數在區間內無零點，則實數的最小值為．