Question

已知f（x）=2sinx（cosx-sinx），其中x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期，并從下列的變換中選擇一組合適變換的序號，經過這組變換的排序，可以把函數y=sin2x的圖象變成y=f（x）的圖象；（要求變換的先后順序）
①縱坐標不變，橫坐標變為原來的

1

2

倍，
②縱坐標不變，橫坐標變為原來的2倍，
③橫坐標不變，縱坐標變為原來的

2

倍，
④橫坐標不變，縱坐標變為原來的

2

2

倍，
⑤向上平移一個單位，⑥向下平移一個單位，
⑦向左平移

π

4

個單位，⑧向右平移

π

4

個單位，
⑨向左平移

π

8

個單位，⑩向右平移

π

8

個單位，
（2）在△ABC中角A，B，C對應邊分別為a，b，c，f（A）=0，b=4，S_△ABC=6，求a的長．

Answer 1

分析：（1）根據二倍角的三角函數公式和輔助角公式，化簡得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）-1，由三角函數的周期公式可算出最小正周期為T=π，結合三角函數圖象變換的方法，可得y=sin2x的圖象按照⑨③⑥或③⑨⑥的順序變換，可得y=f（x）的圖象；
（2）由（1）的解析式，結合三角形內角的范圍解出A=

π

4

，代入三角形面積公式算出c=3

2

，最后利用余弦定理即可算出邊a的長．

解答：解：（1）f（x）=2sinx（cosx-sinx）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=

2

sin（2x+

π

4

）-1…（3分）
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π …（5分）
把y=sin2x的圖象向左平移

π

8

，然后橫坐標不變、縱坐標變為原來

2

倍，
再向下平移1個單位得到函數y=f（x）的圖象．按照⑨③⑥或③⑨⑥的順序變換即可…（8分）
（2）∵f（A）=0，即sin（2A+

π

4

）=

2

2

，且2A+

π

4

∈（

π

4

，

9π

4

）
∴2A+

π

4

=

3π

4

，解之得A=

π

4

…（10分）
S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×csin

π

4

=6，解之得c=3

2

…（10分）
根據余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=16+18-2×4×3

2

cos

π

4

=10
∴a=

10

（舍負）…（14分）．

點評：本題將三角函數式化簡，求函數的周期和圖象的變換，并依此解三角形ABC．著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質和正余弦定理等知識，屬于中檔題．