Question

已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時(shí)判斷的單調(diào)性；
（2）若在其定義域?yàn)樵龊瘮?shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）增函數(shù)；（2）；（3） .

解析試題分析：(1) 本小題首先求得函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)其在恒大于零，于是可知函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2) 本小題首先求得函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，，然后轉(zhuǎn)化為最值得求解；（3）本小題首先分析“，，總有成立”等價(jià)于 “在上的最大值不小于在上的最大值”，于是問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
試題解析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/5/1an5z3.png" style="vertical-align:middle;" />,且>0
所以f(x)為增函數(shù).                          3分
（2），的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/cd/5/1an5z3.png" style="vertical-align:middle;" />
                     5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5f/9/mfq5s.png" style="vertical-align:middle;" />在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，

而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以      9分
（3）當(dāng)時(shí)，，
由得或
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上，                    11分
而“，，總有成立”等價(jià)于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值為
所以有

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是                    14分
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)公式與法則；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.等價(jià)轉(zhuǎn)化.