Question

（附加題-必做題）
四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（I）證明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？若存在，請求出F點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，根據直線所在的向量與平面的法向量相互垂直，并且直線不在平面內可得直線與平面平行．
（2）分別求出兩個平面的法向量，利用向量的有關運算計算出兩個向量的夾角，進而得到二面角平面角的余弦值．
（3）假設存在點F，則直線PB所在的向量與平面DEF的法向量平行，根據這個條件可得到一個方程，再根據有關知識判斷方程的解的情況．

解答：解：（1）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
設PD=CD=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
所以

PA

=（2，0，-2），

DE

=（0，1，1），

DB

=（2，2，0）．
設

n

=（x，y，z）是平面BDE的一個法向量，
則由

n1 • DE =0 n • DB =0

，得

y+z=0 2x+2y=0

；
取=-1，則

n1

=（1，-1，1），
∵

3

3

•

n

=2-2=0，
∴

PA

⊥

n1

，又PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）由（1）知

n1

=（1，-1，1）是平面BDE的一個法向量，又

n2

=

DA

=（2，0，0）是平面DEC的一個法向量．
設二面角B-DE-C的平面角為θ，由圖可知θ=＜

n1

，

n2

＞，
∴cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

3 ×2

=

3

3

，
故二面角B-DE-C余弦值為

3

3

．
（3）∵

PB

=（2，2，-2），

DE

=（0，1，1），
∴

PB

•

DE

=0+2-2=0，∴PB⊥DE．
假設棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設

PF

=λ

PB

（0＜λ＜1），
則

PF

=（2λ，2λ，-2λ），

DF

=

DP

+

PF

=（2λ，2λ，2-2λ），
由

PF

•

DF

=0得4λ²+4λ²-2λ（2-2λ）=0，
∴λ=

1

3

∈（0，1），此時PF=

1

3

PB，
即在棱PB上存在點F，PF=

1

3

PB，使得PB⊥平面DEF．

點評：本題主要考查線面平行的證明、二面角的求解以及線面垂直的探索，解決此類問題的最好方法就是向量法，可以將其轉化為向量的基本運算．