Question

（12分）根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為；
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）寫出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出數列{y_n}的一個通項公式y_n，并證明你的結論；
（Ⅲ）求

Answer 1

（Ⅰ）  
（Ⅱ）=3ⁿ－1（） ，證明略
（Ⅲ）略

解：（Ⅰ）由框圖，知數列 ………2分
∴               ………4分
（Ⅱ）由框圖，知數列{y_n}中，y_n+1=3y_n+2          ………5分
∴                                    ………6分
∴    ∴數列{y_n+1}是以3為首項，3為公比的等比數列。
∴+1=3·3^n－1=3ⁿ
∴=3ⁿ－1（）                            ………8分
（Ⅲ）z_n=
=1×（3－1）+3×（3²－1）+…+（2n－1）（3ⁿ－1）
=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ－[1+3+…+（2n－1）]           ………9分
記S_n=1×3+3×3²+…+（2n－1）·3ⁿ，①
則3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n－1）×3ⁿ⁺¹ ②
①－②，得－2S_n=3+2·3²+2·3³+…+2·3ⁿ－（2n－1）·3ⁿ⁺¹
=2（3+3²+…+3ⁿ）－3－（2n－1）·3ⁿ⁺¹
=2×=