Question

在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=6，且當頂點C位于定點P時，cosC有最小值為．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求頂點C的軌跡方程．
（Ⅱ）過點A作直線與（Ⅰ）中的曲線交于M、N兩點，求的最小值的集合．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）P點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，2c=|AB|，由余弦定理可得及基本不等式，可得，從而可求a，及C點的軌跡方程
（Ⅱ）不妨設A點坐標為A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．（1）當直線MN的傾斜角不為90時，設其方程為 y=k（x+3）代入橢圓方程化簡，顯然有△≥0，由橢圓第二定義可得=（5-）（5-）=25-3（x₁+x₂） 及方程的根與系數的關系可求|BM|•|BN|取最小值，（2）當直線MN的傾斜角為90°時，x₁=x₂=-3，得 ，結合橢圓，故k≠0，這樣的M、N不存在．
解答：解：（Ⅰ） 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，
設|CA|+|CB|=2a（a＞3）為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，
所以焦距 2c=|AB|=6
因為
又 ，
所以，
由題意得 ，∴a²=25
此時，|PA|=|PB|，P點坐標為 P（0，±4）．
所以C點的軌跡方程為  
（Ⅱ）不妨設A點坐標為A（-3，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
（1）當直線MN的傾斜角不為90時，設其方程為 y=k（x+3）代入橢圓方程化簡，得 

顯然有△≥0，所以 ，
而由橢圓第二定義可得=（5-）（5-）=25-3（x₁+x₂）
==

只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，
∴當k=0時，取最小值16；
（2）當直線MN的傾斜角為90°時，x₁=x₂=-3，得 
但，故k≠0，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質及余弦定理求解橢圓的方程，利用函數的性質求解函數的最值問題，綜合性強．