Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣ +alnx（a∈R）．
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）已知g（x）= x2+（m﹣1）x+ ，m≤﹣ ，h（x）=f（x）+g（x），當時a=1，h（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求h（x1）﹣h（x2）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣ +alnx，

∴f′（x）=1+ + ，

∵f（x）在[1，+∞）上單調遞增，

∴f′（x）=1+ + ≥0在[1，+∞）上恒成立，

∴a≥﹣（x+ ）在[1，+∞）上恒成立，

∵y=﹣x﹣ 在[1，+∞）上單調遞減，

∴y≤﹣2，

∴a≥﹣2

（2）解：h（x）=f（x）+g（x）=lnx+ x2+mx，其定義域為（0，+∞），

求導得，h′（x）= ，

若h′（x）=0兩根分別為x1，x2，則有x1x2=1，x1+x2=﹣m，

∴x2= ，從而有m=﹣x1﹣ ，

∵m≤﹣ ，x1＜x2，

∴x1∈[ ，1]

則h（x1）﹣h（x2）=h（x1）﹣h（ ）=2lnx1+ （ ﹣ ）+（﹣x1﹣ ）（x1﹣ ），

令φ（x）=2lnx﹣ （x2﹣ ），x∈[ ，1]．

則[h（x1）﹣h（x2）]min=φ（x）min，

φ′（x）=﹣ ，

當x∈（ ，1]時，φ′（x）＜0，

∴φ（x）在[ ，1]上單調遞減，

φ（x）min=φ（1）=0，

∴h（x1）﹣h（x2）的最小值為0

【解析】（1）利用函數單調性和導數之間的關系進行求解即可．（2）求出函數h（x）的表達式，求出函數h（x）的導數，利用函數極值，最值和導數之間的關系進行求解．
【考點精析】掌握函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．