Question

（2011•嘉定區三模）已知集合M是滿足下列兩個條件的函數f（x）的全體：①f（x）在定義域上是單調函數；②在f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域為[

a

2

 ， 

b

2

]．若函數g(x)=

x-1

+m，g（x）∈M，則實數m的取值范圍是

(0 ， 

1

2

]

．

Answer 1

分析：若函數g（x）=

x-1

+m∈M 可判斷g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數，故g（x）滿足②即方程 g(x)=

1

2

x在[1，+∞）內有兩個不等實根，
方法一：平方去根號，轉化為二次函數在特定區間上解的問題，利用實根分布處理；
方法二：可轉化為方程

x-1

=

1

2

x-m在[1，+∞）內有兩個不等實根，兩個函數的圖象有兩個交點．結合圖象求解．兩種方法中都要注意等價轉化．

解答：解：設 g（x）=

x-1

+m，則易知g（x）是定義域[1，+∞）上的增函數．
∵g（x）∈M，
∴存在區間[a，b]?[1，+∞），滿足 g（a）=

1

2

a，g（b）=

1

2

b．
即方程 g（x）=

1

2

x在[1，+∞）內有兩個不等實根．
[法一]：方程

x-1

+m=

1

2

x 在[1，+∞）內有兩個不等實根，等價于方程 x-1=(

1

2

x-m)2在[2t，+∞）內有兩個不等實根．
即方程x²-（4m+4）x+4m²+4=0在[2m，+∞）內有兩個不等實根．
根據一元二次方程根的分布有

(2m)2-(4m+4)•2m+4m2+4≥0  △=(4m+4)2-4(4m2+4)＞0 4m+4 2 ＞2m

解得 0＜m≤

1

2

因此，實數t的取值范圍是 0＜m≤

1

2

．
[法二]：要使方程]：方程

x-1

+m=

1

2

x 在[1，+∞）內有兩個不等實根
即方程

x-1

=

1

2

x-m在[1，+∞）內有兩個不等實根
如圖，當直線 y=

1

2

x-m經過點（1，0）時，m=

1

2

當直線 y=

1

2

x-m與y=

x-1

相切時，
方程兩邊平方，得x²-（4m+4）+4（m²+4）=0由△=0，得m=0．
因此，利用數形結合得實數t的取值范圍是 0＜m≤

1

2

故答案為：（0，

1

2

]

點評：本題考查集合的包含關系、函數的定義域、值域問題，同時考查數形結合思想、等價轉化思想和利用所學知識分析問題、解決問題的能力．