Question

已知函數f（x）=16lnx+x²-12x+11．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．（注：

2

3

＜ln2＜

7

10

）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據對數函數的定義求出f（x）的定義域，并求出f′（x）=0時x的值，在定義域內，利用x的值討論f′（x）的正負即可得到f（x）的單調區間；（Ⅱ）根據第一問函數的增減性得到函數的極大值為f（2）和極小值為f（4），然后算出f（8）大于f（Ⅱ），f（1）小于f（4）得到f（x）的三個單調區間（0，2），（2，4），（4，+∞）上，y=b與函數f（x）的圖象各有一個交點，即滿足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=16lnx+x²-12x+11知，f（x）定義域為（0，+∞），
f′ (x)=

2(x2-6x+8)

x

=

2(x-2)(x-4)

x

．
當x∈（0，2）∪（4，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈（2，4）時，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調增區間是（0，2），（4，+∞），f（x）的單調減區間是（2，4）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，4）上單調遞減，在（4，+∞）上單調遞增，
且當x=2或x=4時，f′（x）=0，所以f（x）的極大值為f（2）=16ln2-9，極小值為f（4）=32ln2-21．
又因為f（8）=48ln2-21＞16ln2-9=f（2），f（1）=0＜f（4），所以在f（x）的三個單調區間（0，2），（2，4），（4，+∞）上，直線y=b與y=f（x）的圖象各有一個交點，當且僅當f（4）＜b＜f（2），
因此，b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）．

點評：本題要求學生會利用導函數的正負得到函數的單調區間，會根據函數的增減性得到函數的極值，是一道綜合題．