Question

已知圓C：x²＋y²＝9，點A(－5，0)，直線l：x－2y＝0.

(1)求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；
(2)在直線OA上(O為坐標原點)，存在定點B(不同于點A)，滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數，試求所有滿足條件的點B的坐標．

Answer 1

（1）y＝－2x±3（2）

(1)設所求直線方程為y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，
∵直線與圓相切，∴＝3，得b＝±3，∴所求直線方程為y＝－2x±3.
(2)(解法1)假設存在這樣的點B(t，0)，
當P為圓C與x軸左交點(－3，0)時，＝；
當P為圓C與x軸右交點(3，0)時，＝，
依題意，＝，解得，t＝－5(舍去)，或t＝－.
下面證明點B對于圓C上任一點P，都有為一常數．
設P(x，y)，則y²＝9－x²，
∴＝，從而＝為常數．
(解法2)假設存在這樣的點B(t，0)，使得為常數λ，則PB²＝λ²PA²，∴(x－t)²＋y²＝λ²[(x＋5)²＋y²]，將y²＝9－x²代入得，x²－2xt＋t²＋9－x²＝λ²(x²＋10x＋25＋9－x²)，即
2(5λ²＋t)x＋34λ²－t²－9＝0對x∈[－3，3]恒成立，
∴解得(舍去)，
所以存在點B對于圓C上任一點P，都有為常數