Question

（本題滿分12分）     已知函數.

(Ⅰ) 求f ¹(x)；

(Ⅱ) 若數列{a_n}的首項為a₁=1，(nÎN₊)，求{a_n}的通項公式a_n；

(Ⅲ) 設b_n=a_n+1²+a_n+2²+¼+a_2n+1²，是否存在最小的正整數k，使對于任意nÎN₊有b_n<成立. 若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵， ∴   

由y=解得：           

 ∴       ………………………………………………（3分） 

（Ⅱ）由題意得：     

 ∴                   

∴{}是以=1為首項，以4為公差的等差數列.    ∴， 

 ∴.          ………………………………………………（7分）

（Ⅲ）∴

則

∴

∴，∴ {b_n}是一單調遞減數列.      

∴，要使，則 ，

∴

又kÎN^*  ，∴k³8 ，∴k_min=8

即存在最小的正整數k=8，使得     …………………………………………（12分）