Question

已知△ABC的三內角A、B、C滿足A+C=2B，設x=cos，f(x)=cosB().
(1)試求函數f(x)的解析式及其定義域；
(2)判斷其單調性，并加以證明；
(3)求這個函數的值域.

Answer 1

(1),定義域為(，)∪(，1］ (2) f(x)在(,)和(，1上都是減函數,(3) f(x)的值域為(－∞，－)∪［2，+∞

(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1
又4x²－3≠0，∴x≠，∴定義域為(，)∪(，1］.
(2)設x₁＜x₂，
∴f(x₂)－f(x₁)==，
若x₁，x₂∈()，則4x₁²－3＜0，4x₂²－3＜0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0
即f(x₂)＜f(x₁)，若x₁，x₂∈(，1］，則4x₁²－3＞0.
4x₂²－3＞0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0.
即f(x₂)＜f(x₁)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數.
(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.
故f(x)的值域為(－∞，－)∪［2，+∞.