Question

甲、乙、丙三名優秀的大學畢業生參加一所重點中學的招聘面試，面試合格者可以簽約．甲表示只要面試合格就簽約，乙與丙則約定，兩個面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設每個人面試合格的概率都是P，且面試是否合格互不影響．已知至少有1人面試合格概率為．
（1）求P．  
（2）求簽約人數ξ的分布列和數學期望值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由至少有1人面試合格概率，利用對立事件的概率求出3人均不合格的概率，再由相互獨立事件同時發生的概率列式求解；
（2）由題意可知簽約人數ξ的取值分別是0，1，2，3，求出每種情況的概率，直接利用期望公式求期望．
解答：解：（1）至少1人面試合格概率為（包括1人合格 2人合格和3人都合格），這樣都不合格的概率為1-=．
所以（1-P）³=，即P=．
（2）簽約人數ξ取值為0、1、2、3
簽約人數為0的概率：都不合格（1-）³=，
甲不合格，乙丙至少一人不合格×（1-×）-（1-）³=，
簽約人數為0的概率：+=；
簽約人數為1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：×（1-×）=；
簽約人數為2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：××（1-）=；
簽約人數為3的概率：甲乙丙均合格：（）³=．
分布表：

簽約人數		1	2	3
概率

數學期望：Eξ==1．
點評：本題考查了相互獨立事件同時發生的概率，考查了離散型隨機變量的分布列與期望，離散型隨機變量的期望表征了隨機變量取值的平均值，是中檔題．