Question

已知函數f（x）=x+

a

x

的圖象過點（1，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求證：f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用待定系數法直接將（1，2）代入函數表達式從而求出a的值；（2）通過求導得到f′（x）在[1，+∞）為負值，從而證得結論．

解答： 解：（1）將（1，2）代入函數的表達式得：2=1+a，解得：a=1，
∴f（x）=x+

1

x

；
（2）∵f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
當x≥1時，f′（x）≥0，
∴函數f（x）在[1，+∞）遞增．

點評：本題考查了求函數的解析式問題，考查了函數的單調性問題，是一道基礎題．