Question

2008年奧運會在中國召開，某商場預計2008年從1日起前x個月，顧客對某種奧運商品的需求總量p(x)件與月份x的近似關系是p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N^*,且x≤12),該商品的進價q(x)元與月份x的近似關系是q(x)=150+2x(x∈N^*,且x≤12).

(1)寫出今年第x月的需求量f(x)件與月份x的函數關系式；

(2)該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，則此商場今年銷售該商品的月利潤預計最大是多少元？

Answer 1

解:(1)當x=1時,f(1)=p(1)=37；

當2≤x≤12時,f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)(x-1)x(41-2x)=-3x²+40x(x∈N^*,且2≤x≤12).

驗證x=1符合f(x)=-3x²+40x，∴f(x)=-3x²+40x(x∈N^*且1≤x≤12).

(2)該商場預計銷售該商品的月利潤為g(x)=(-3x²+40x)(185-150-2x)=6x³-185x²+1 400x(x∈N^*,1≤x≤12),

g′(x)=18x²-370x+1 400,令g′(x)=0,解得x=5,x=(舍去).

當1≤x＜5時,g′(x)＞0,當5＜x≤12時,g′(x)＜0,

∴當x=5時,g(x)_max=g(5)=3 125(元).

綜上5月份的月利潤最大是3 125元.