Question

已知函數(shù) .

（1）若 的極小值為1，求a的值.

（2）若對任意 ，都有 成立，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1） （2） 

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出存在極小值的條件，然后求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)的求出函數(shù)的單調(diào)性，然后在求出函數(shù)在上的極小值，可得極小值大于等于1，解之即可.

試題解析：（1）因為，所以

當(dāng)a≤0時，，所以在定義域（0，+∞上單調(diào)遞減，不存在極小值；

當(dāng)a>0時，令，可得  ，當(dāng) 時，有， 單調(diào)遞減；當(dāng)時，由， 單調(diào)遞增，

所以是函數(shù)的極小值點，故函數(shù)的極小值為，解得.

（2）由（1）可知，當(dāng)a≤0時，在定義域（0，+∞上單調(diào)遞減，且在x=0附近趨于正無窮大，而，由零點存在定理可知函數(shù)在（0,1]內(nèi)存在一個零點，不恒成立；

當(dāng)a>0時，若恒成立，則，即a≥1，

結(jié)合（1）a≥1時，函數(shù)在（0,1]內(nèi)先減后增，要使恒成立，則的極小值大于或等于1成立，所以 即，可得，綜上可得.

考點：1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)由不等式恒成立問題求出參數(shù).