Question

選修4-1幾何證明選講
已知△ABC中AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧，上的點（不與點A、C重合），延長BD至E，延長AD交BC的延長線于F．
（I）求證．∠CDF=∠EDF
（II）求證：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據A，B，C，D 四點共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．
（II）證明△BAD∽△FAB，可得AB²=AD•AF，因為AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根據割線定理即可得到結論．
解答：證明：（I）∵A，B，C，D 四點共圓，∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分
對頂角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF
∵∠BAD=∠FAB
∴△BAD∽△FAB
∴
∴AB²=AD•AF
∵AB=AC
∴AB•AC=AD•AF
∴AB•AC•DF=AD•AF•DF
根據割線定理DF•AF=FC•FB
∴AB•AC•DF=AD•FC•FB
點評：本題以圓為載體，考查圓的內接四邊形的性質，考查等腰三角形的性質，考查三角形的相似，屬于基礎題．