Question

(本小題滿分12分）

已知函數的零點的集合為{0，1}，且是f（x）的一個極值點。

（1）求的值；

（2）試討論過點P（m，0）與曲線y＝f（x）相切的直線的條數。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當或時，，方程①有兩等根或，此時，過點或與曲線相切的直線有兩條；

當時，，方程①無解，此時過點與曲線相切的直線僅有一條；

當或時，，方程①有兩個不同的實根，此時過點與曲線相切的直線有三條.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數的零點的集合為，則方程 的解可以為，或.

∴或.

①若，則.

當，或時，，函數為增函數；當，，函數為減函數；

∴，為函數的極值點．與題意不符．

②若，則

當，或時，，函數為增函數；當，，函數為減函數；

∴，為函數的極值點．

綜上，函數，即，

而，故，∴               …6分

（Ⅱ）設過點的直線與曲線切于點，

由（Ⅰ）知，∴曲線在點處的切線方程為，

∵滿足此方程，故，又

即，∴.

，或…①，關于的方程的判別式

當或時，，方程①有兩等根或，此時，過點或與曲線相切的直線有兩條；

當時，，方程①無解，此時過點與曲線相切的直線僅有一條；

當或時，，方程①有兩個不同的實根，此時過點與曲線相切的直線有三條.                                         …12分

考點：函數的零點；函數的極值點；導數的幾何意義；曲線的切線方程。

點評：利用導數求曲線的切線方程，我們一定要分清是“在某點處的切線”還是“過某點的切線”。對于“在某點處的切線”的問題，這一點就是切點，直接根據導數的幾何意義寫出切線方程即可。對于“過某點的切線”問題，我們一般要把切點坐標設出來解決。