Question

【題目】已知函數/ (為常數)的圖像與軸交于點,曲線在點處的切線斜率為 .

(1)求的值及函數的極值;

(2)證明:當時, ;

(3)證明:對任意給定的正數,總存在,使得當,恒有.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）證明見解析；(3) 證明見解析.

【解析】試題分析: (1) 求出，由 可得的值， 得增區間， 得減區間，從而可得函數的極值；(2) 令，研究函數的單調性，只需證明的最小值大于零即可；(3) 對任意給定的正數c,取

由(2)知,當x>0時, ,所以.當時, ，從而可得結論.

試題解析：(1)由,得.

又,得.

所以.令,得.

當時, 單調遞減;當時, 單調遞增.

所以當時, 取得極小值無極大值.

(2)令,則.

由(1)得,故在R上單調遞增,

又,因此,當時, ,即.

(3)解法一:①若,則.又由(2)知,當時, .

所以當時, .取,當時,恒有.

②若,令,要使不等式成立,只要成立.

而要使成立,則只要,只要成立.

令,則.

所以當時, 在內單調遞增.

取,所以在內單調遞增.

又=.

易.所以.

即存在,當時,恒.

綜上,對任意給定的正數c,總存在,當時,恒有.

解法二:對任意給定的正數c,取

由(2)知,當x>0時, ,所以

當時,

因此,對任意給定的正數c,總存在,當時,恒有