【題目】如圖，在梯形ABCD中，
，
，
，
為梯形
外一點，且
平面.
（1）求證：
平面
；
（2）當二面角
的平面角的余弦值為
時，求這個四棱錐
的體積.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）梯形ABCD中，由線段關系及角度關系可證明
.根據
平面
，可知
，由線面垂直判定定理即可證明
平面
；
（2）在
中由余弦定理求得
，建立空間直角坐標系，設
，寫出各個點的坐標，并求得平面BDP的法向量
和平面BCP的法向量
，根據空間向量的數量積運算及二面角
的平面角的余弦值為
，即可求得
的值，進而求得四棱錐
的體積.
（1）證明：在梯形ABCD中，
，
，
，
.
，
，
，
.
平面ABCD，
平面ABCD，
.
又
，
平面ACP.
（2）在中，
，
.
以點C為坐標原點，分別以CA，CB，CP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.
設，則
，
，
，
，
，
則
，
.
設平面BDP的法向量
，
則
，即
.取
，得
，
平面BCP的一個法向量
.
二面角的平面角的余弦值為，
，
解得
，即
，
.
口算題天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖①，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，△BCD是等邊三角形.如圖②，將△BCD沿BC折起，使平面BCD⊥平面ABC，記BC的中點為E，BD的中點為M，點F、N在棱AC上，且AF＝3CF，C
.
（1）試過直線MN作一平面，使它與平面DEF平行，并加以證明；
（2）記（1）中所作的平面為α，求平面α與平面BMN所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點F與拋物線
焦點重合，且橢圓的離心率為
，過
軸正半軸一點
且斜率為
的直線
交橢圓于
兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在實數
使以線段
為直徑的圓經過點
，若存在，求出實數的值；若不存在說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)=lnx﹣ax+a,a∈R.
（1）求f(x)的單調區間；
（2）當x≥1時，恒有g(x)=(x+1)f(x)﹣lnx≤0恒成立，求a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一個湖的邊界是圓心為
的圓，湖的一側有一條直線型公路
，湖上有橋
（是圓的直徑）．規劃在公路上選兩個點
，
，并修建兩段直線型道路
，
，規劃要求：線段，上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑．已知點
，
到直線的距離分別為
和
（
，
為垂足），測得
，
，
（單位：百米）．
（1）若道路與橋垂直，求道路的長；
（2）在規劃要求下，和中能否有一個點選在處？并說明理由；
（3）在規劃要求下，若道路和的長度均為
（單位：百米），求當最小時，、兩點間的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著甜品的不斷創新，現在的甜品無論是造型還是口感都十分誘人，有顏值、有口味、有趣味的產品更容易得到甜品愛好者的喜歡，創新已經成為烘焙作品的衡量標準.某“網紅”甜品店生產有幾種甜品，由于口味獨特，受到越來越多人的喜愛，好多外地的游客專門到該甜品店來品嘗“打卡”，已知該甜品店同一種甜品售價相同，該店為了了解每個種類的甜品銷售情況，專門收集了該店這個月里五種“網紅甜品”的銷售情況，統計后得如下表格：
甜品種類 | A甜品 | B甜品 | C甜品 | D甜品 | E甜品 |
銷售總額（萬元） | 10 | 5 | 20 | 20 | 12 |
銷售額（千份） | 5 | 2 | 10 | 5 | 8 |
利潤率 | 0.4 | 0.2 | 0.15 | 0.25 | 0.2 |
（利潤率是指：一份甜品的銷售價格減去成本得到的利潤與該甜品的銷售價格的比值.）
（1）從該甜品店本月賣出的甜品中隨機選一份，求這份甜品的利潤率高于0.2的概率；
（2）從該甜品店的五種“網紅甜品”中隨機選取2種不同的甜品，求這兩種甜品的單價相同的概率；
（3）假設每類甜品利潤率不變，銷售一份A甜品獲利
元，銷售一份B甜品獲利
元，…，銷售一份E甜品獲利
元，依據上表統計數據，隨機銷售一份甜品獲利的期望為
，設
，試判斷與
的大小.
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