Question

（本小題滿分14分）已知橢圓兩焦點分別為、,是橢圓在第一象限弧上的一點，并滿足,過點作傾斜角互補的兩條直線、分別交橢圓于、兩點.

（1）求點坐標；

（2）證明：直線的斜率為定值，并求出該定值；

（3）求△面積的最大值.

Answer 1

解：（1）由題可得

            則

                    ①

在曲線上，則   ②

 由①②得，則點P的坐標為 ………（4分）

（2）設直線PA斜率K，則直線PB斜率-K，設，

則直線與橢圓方程聯立得：

          由韋達定理：

          同理求得

                 

                     

綜上，直線AB斜率為定值，值為.      …………（9分）

       （3）設AB的直線方程：

            由  ，得

            由

            P到AB的距離為,

            則

           

            當且僅當時取等號，

            △PAB面積的最大值為.    …………（14分）