Question

【題目】設，.

（1）令，求的單調區間；

（2）已知在處取得極大值，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先求導數得，再求函數導數，根據討論導數是否變號，進而確定單調區間（2）根據討論單調性，確定極值取法：當時，時，單調遞減，時單調遞增，在處取得極小值；當時，時單調遞減，當時，時，單調遞增，時單調遞減，在處取得極大值。

試題解析：（Ⅰ）由

可得，

則，

當時，時，，函數單調遞增，

當時，時，，函數單調遞增，時，，函數單調遞減.

所以當時，函數的單調遞增區間為，

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

①當時，單調遞增，

所以當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

所以在處取得極小值，不合題意.

②當時，，由（Ⅰ）知在內單調遞增，

可得當時，，時，，

所以在(0，1)內單調遞減，在內單調遞增，

所以在處取得極小值，不合題意.

③當時，即，在(0，1)內單調遞增，在內單調遞減，

所以當時，，單調遞減，不合題意.

④當時，即 當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以在處取得極大值，合題意.

綜上可知，實數a的取值范圍為.