Question

已知函數y=2x²+bx+c在(-∞，-

3

2

)上是減函數，在(-

3

2

，+∞)上是增函數，且兩個零點x₁，x₂滿足|x₁-x₂|=2，求二次函數的解析式．

Answer 1

分析：二次函數的對稱軸把定義域分為兩個單調區間，可得其對稱軸為x=-

3

2

，由此可以求出b，對|x₁-x₂|=2進行變形得|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-2c

=2，由此方程可求得c．

解答：解：由已知得：對稱軸x=-

3

2

，
所以-

b

4

=-

3

2

得b=6；
故f（x）=2x²+6x+c
又x₁，x₂是f（x）的兩個零點，所以x₁，x₂是方程2x²+6x+c=0的兩個根，
∴x1+x2=-3，x1•x2=

c

2

；
所以|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-2c

=2得c=

5

2

故f(x)=2x2+6x+

5

2

．

點評：本題考點是待定系數法求函數解析式，此類題的特征是知道了函數圖象上某些點的坐標或者知道了函數的一些與點的坐標有關系的特征以及對稱性等，可以由這些特征建立方程求出相應參數，得到二次函數的解析式．