Question

【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖是腰長為6的等腰直角三角形，俯視圖是正方形．

(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；

(2)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD—A1B1C1D1?如何組拼？試證明你的結論；

(3)在(2)的情形下，設正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中點為E, 求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）72；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）先確定是一個四棱錐，再確定高與底面形狀，最后代入錐體體積公式計算（2）由體積關系確定錐體個數，再進行配湊（3）根據投影可得二面角的余弦值為對應兩個三角形面積之比

試題解析：(1)該幾何體的直觀圖如圖1所示，它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐. 其中底面ABCD是邊長為6的正方形，高PD＝6，故所求體積是V＝×62×6＝72.

(2)依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，即由四棱錐D1－ABCD，D1－BB1C1C，D1－BB1A1A組成．其拼法如圖2所示.

(3)因為△AB1E的邊長AB1＝6，B1E＝3，AE＝9，所以S△AB1E＝27，而S△ABC＝18，所以平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為＝.

點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．

(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解．