Question

（2010•宜春模擬）在正四面體P-ABC中，M為△ABC內（含邊界）一動點，且點M到三個側面PAB、PBC、PCA的距離成等差數列，則點M的軌跡是（　　）

A．一條線段

B．橢圓的一部分

C．雙曲線的一部分

D．拋物線的一部分

Answer 1

分析：先設點M到三個側面PAB、PBC、PCA的距離為d-a，d，d+a，正四面體P-ABC中各個面的面積為S，體積為V，用等體積法可d為常數且等于高h的三分之一，再作一個平面α使α平行于面SBC且它們的面面距離為d，則α與面ABC的交線即為點M的軌跡，從而解決問題．

解答：解：設點M到三個側面PAB、PBC、PCA的距離為d-a，d，d+a 
正四面體P-ABC中各個面的面積為S，體積為V，
用等體積法可知：
S（d-a+d+d+a ）=3V
所以d為常數且等于高h的三分之一，
作一個平面α使α平行于面SBC且它們的面面距離為d
則α與面ABC的交線即為點M的軌跡
易知p的軌跡為一條線段．
故選A．

點評：本小題主要考查等差數列、體積法的應用、軌跡方程等基礎知識，考查空間想象能力思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．