Question

（2012•商丘二模）已知函數f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f （1））處的切線方程；
（Ⅱ）當x≥1時，若關于x的不等式f（x）≥

5

2

x²+（a-3）x+1恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決；
（II）關于x的不等式f（x）≥

5

2

x²+（a-3）x+1恒成立將a分離出來，然后利用導數研究不等式另一側函數在[1，+∞）上的最值，即可求出所求．

解答：解：（I）f′（x）=e^x+4x-3則f'（1）=e+1，又f（1）=e-1
∴曲線y=f（x）在點（1，f （1））處的切線方程為y-e+1=（e+1）（x-1）
即（e+1）x-y-2=0
（II）由f（x）≥

5

2

x²+（a-3）x+1得
e^x+2x²-3x≥

5

2

x²+（a-3）x+1即ax≤e^x-

1

2

x²-1
∵x≥1∴a≤

ex- 1 2 x2-1

x

記g（x）=

ex- 1 2 x2-1

x

，則g'（x）=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

 記φ（x）=e^x（x-1）-

1

2

x²+1則φ′（x）=x（e^x-1）
∵x≥1，φ′（x）＞0，∴φ（x）在[1，+∞）上單調遞增
∴g（x）≥φ（1）=

1

2

＞0
∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增
∴g（x）≥g（1）=e-

3

2

由a≤g（x）恒成立，得a≤g（x）_min，
∴a≤e-

3

2

即a的取值范圍是（-∞，e-

3

2

]

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及恒成立問題，解決此類問題的方法是將參數a進行分離，屬于中檔題．