Question

【題目】已知在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠BCD=60°，側面SAB是正三角形，且面SAB⊥面ABCD，F為SD的中點．

（1）證明：SB∥面ACF；
（2）求面SBC與面SAD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD交AC于O，連接OF，

因為ABCD為菱形，所以OB=OD，

又F為SD的中點，所以FO∥SB，

因為FO平面ACF，SB面ACF，

所以SB∥面ACF．

（2）證明：取AB中點M，連接MD，分別以MB、MD、MS為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．

設AB=a，則B（ ，0，0），C（a， ，0），A（﹣ ，0，0），D（0， ，0），S（0，0， ），

=（ ， ，0）， =（﹣ ）， =（ ）， =（ ），

設面SBC的法向量 ，則 ，

令x′=1，則 ．

設面SAD的法向量為 ，則 ，

令x=1，則 ．

則cos＜ ＞= = ，

所以銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）連接BD交AC于O，連接OF，推導出FO∥SB，由此能證明SB∥面ACF．（2）取AB中點M，連接MD，分別以MB、MD、MS為x，y，z軸，建立空間直角坐系．利用向量法能求出銳二面角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．