Question

（本小題滿分12分）
如圖，已知四棱錐中，側棱平面，底面是平行四邊形，，，，分別是的中點．
（1）求證：平面
（2）當平面與底面所成二面角為時，求二面角的大小．

Answer 1

解：
（1）證明：∵平面，∴的射影是，的射影是，
∵∴∴，且，
∴是直角三角形，且，…………………………………3分
∴，∵平面，∴，
且，∴平面………………………………………6分
（2）解法1：由（1）知，且是平行四邊形，可知，
又∵平面，由三垂線定理可知，，
又∵由二面角的平面角的定義可知，是平面與底面所成二面角，故，故在中，，∴，，
從而又在中，，
∴在等腰三角形，分別取中點和中點，連接，和，
∴中位線，且平面，∴平面，
在中，中線，由三垂線定理知，，
為二面角的平面角，
在中，，，
，，
∴二面角的大小為.
解法2：由(Ⅰ)知，以點為坐標原點，以、、
所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，則，，，，
，，，
則，，
設平面的一個法向量為,
則由
又是平面的一個法向量，
平面與底面所成二面角為
，解得，
設平面的一個法向量為,
則由.
又是平面的一個法向量，
設二面角的平面角為，則
，∴ ∴
∴二面角的大小為.…………………….…….……12分

略