Question

已知數列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥3）具有性質P；對任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數中至少有一個是該數列中的一項，現給出以下四個命題：
①數列0，2，4，6具有性質P；
②若數列A具有性質P，則a₁=0；
③若數列A具有性質P且a₁≠0a_n-a_n-k=a_k（k=1，2，…，（n-1）；
④若數列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性質P，則a₃=a₁+a₂
其中真命題有（ ）
A．4個
B．3個
C．2個
D．1個

Answer 1

【答案】分析：根據數列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3時具有性質P，對任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i與a_j-a_i兩數中至少有一個是該數列中的一項，逐一驗證，可知②錯誤，其余都正確．
解答：解：①數列0，2，4，6中，a_j+a_i與a_j-a_i（1≤i＜j≤3）兩數中都是該數列中的項，
并且a₄-a₃=2是該數列中的項，故①正確；
②由題設知：1，2，3具有性質P，但a₁=1≠0；故②不正確；
③若數列A具有性質P，且a₁≠0，
則a_n+a_n-k和a_n-a_n-k中至少有一個是該數列中的一項，
∵a_n+a_n-k不一定是該數列中的項，
∴a_n-a_n-k（k=1，2，…，n-1）一定在該數列中，
∴a_n-a_n-k=a_k；故③正確．
④∵數列a₁，a₂，a₃具有性質P，0≤a₁＜a₂＜a₃，
∴a₁+a₃與a₃-a₁至少有一個是該數列中的一項，
1°若a₁+a₃是該數列中的一項，則a₁+a₃=a₃，
∴a₁=0，易知a₂+a₃不是該數列的項
∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂．
2°若a₃-a₁是該數列中的一項，則a₃-a₁=a₁或a₂或a₃，
i若a₃-a₁=a₃同1°，
ii若a₃-a₁=a₂，則a₃=a₂，與a₂＜a₃矛盾，
iiia₃-a₁=a₁，則a₃=2a₁，
綜上a₁+a₃=2a₂．故④正確．
故選B．
點評：本題是一道新型的探索性問題，認真理解題目所給的條件后解決問題，通過解決探索性問題，進一步培養學生閱讀理解和創新能力，綜合運用數學思想方法分析問題與解決問題的能力．