Question

【題目】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖．

（1）求證：平面AB1D1∥平面C1BD；

（2）試找出體對(duì)角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E，F(xiàn)，并證明：A1E＝EF＝FC.

Answer 1

【答案】略

【解析】證明：（1）因?yàn)樵谡�方體ABCD－A1B1C1D1中，ADB1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D.又因?yàn)镃1D平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.

（2）如圖，設(shè)A1C1與B1D1交于點(diǎn)O1，連接AO1，與A1C交于點(diǎn)E.

因?yàn)锳O1平面AB1D1，

所以點(diǎn)E也在平面AB1D1內(nèi)，所以點(diǎn)E就是A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)．

連接AC交BD于O，連接C1O與A1C交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F就是A1C與平面C1BD的交點(diǎn)．

下面證明A1E＝EF＝FC.

因?yàn)槠矫鍭1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.

在△A1C1F中，O1是A1C1的中點(diǎn)，所以E是A1F的中點(diǎn)，

即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.