Question

已知橢圓=1(a＞b＞0)，其右準線l與x軸交于點A，橢圓的上頂點為B，過它的右焦點F且垂直于長軸的直線交橢圓于點P，直線AB恰經過線段FP的中點D．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設橢圓的左、右頂點分別是A₁、A₂，且=-3，求橢圓方程；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，設Q是橢圓右準線l上異于A的任意一點，直線QA₁、QA₂與橢圓的另一個交點分別為M、N，求證：直線MN與x軸交于定點．

 

Answer 1

解：(1)∵橢圓方程為=1，(a＞b＞0，c＞0，c²=a²-b²)

∴A(，0)，F(xiàn)(c，0)，9(0，b)，P(c,)，

FP的中點D的坐標為(c, )

直線AB的方程為：=1

∵D在直線AB上

∴c·=1

化簡得3a²=4c²  ∴e=

(Ⅱ)A₁(-a，0)，A₂(a，0)，B(0，b)=(-a，-b)，=(a，-b)

·=-3∴a²-b²=3

由(Ⅰ)得：a=2b

∴a=2,b=1，c=

∴橢圓方程為：+y²=1

(Ⅲ)設直線QA₁和QA₂斜率分別為k₁，k₂，則

由

(1+4)x²+16x+16-4=0

解得x_M=,y_M=

由

(1+4)x²-16x+16-4=0

解得x_N=,y_N=

直線MN的方程為，令y=0

得x=化簡得x=2×

∵y_Q=k₁(+2)=k₂(-2)

∴=7-4

∴

∴x=2×=

即直線MN與x軸交于定點(，0)．