Question

 【必做題】本題滿分10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

過拋物線y²=4x上一點A(1，2)作拋物線的切線，分別交x軸于點B，交y軸于點D，點C(異于點A)在拋物線上，點E在線段AC上，滿足=λ₁；點F在線段BC上，滿足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，線段CD與EF交于點P．

(1)設，求；

(2)當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程．

Answer 1

解：(1)過點A的切線方程為y=x+1． …………………………………………………1分

切線交x軸于點B(-1，0)，交y軸交于點D(0，1)，則D是AB的中點．   

所以．                            (1) ………………………3分

由Þ=(1+λ) Þ． (2)

同理由 =λ₁， 得=(1+λ₁)，              (3)

=λ₂， 得=(1+λ₂)．              (4)

將(2)、(3)、(4)式代入(1)得

．

因為E、P、F三點共線，所以 + =1，

再由λ₁+λ₂=1，解之得λ=．……………………………………………………………6分

(2)由(1)得CP=2PD，D是AB的中點，所以點P為△ABC的重心．

所以，x=，y=．

解得x₀=3x，y₀=3y-2，代入y₀²=4x₀得，(3y-2)²=12x．

由于x₀≠1，故x≠3．

所求軌跡方程為(3y-2)²=12x (x≠3)． ………………………………………………10分