Question

已知函數滿足，對任意都有，且．
（1）求函數的解析式；
（2）是否存在實數，使函數在上為減函數？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在實數，.

解析試題分析：（1）根據 求得；
根據對任意，有，確定圖像的對稱軸為直線，求得；
利用對任意都有，轉化成對任意成立，解得.
（2）化簡函數 ，其定義域為，
令，利用復合函數的單調性，得到求解，得，肯定存在性.
試題解析：
（1）由及 ∴      1分
又對任意，有
∴圖像的對稱軸為直線，則，∴       3分
又對任意都有，
即對任意成立，
∴，故                                  6分
∴                                              7分
（2）由（1）知 ，其定義域為     8分
令
要使函數在上為減函數，
只需函數在上為增函數，               11分
由指數函數的單調性，有，解得           13分
故存在實數，當時，函數在上為減函數      14分
考點：二次函數的圖象和性質，待定系數法，復合函數的單調性，對數函數的性質.