Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=a+2（a≥0），an+1=

an+a

，n∈N^*．
（1）若a=0，求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=|a_n+1-a_n|，數列的前n項和為S_n，證明：S_n＜a₁．

Answer 1

分析：（1）由a=0可得a₁=2，an+1=

an

，兩邊同時平方后再同時取對數后可得2lga_n+1=lga_n，從而可得數列{lga_n}是

1

2

為公比的等比數列．結合等比數列的通項公式可求lga_n，進而可求a_n；
（2）由已知an+1=

an+a

，可得an+12=an+a，n≥2時，

a

2 n

=a_n-1+a兩式相減可得a_n+1-a_n＜0，從而有b_n=|a_n+1-a_n|=-（a_n+1-a_n），然后再利用疊加法可求和，即可證明．

解答：解：（1）若a=0時，a₁=2，an+1=

an

，
∴an+12=an且a_n＞0．
兩邊取對數，得2lga_n+1=lga_n，
∵lga₁=lg2，
∴數列{lga_n}是以lg2為首項，

1

2

為公比的等比數列，
∴lga_n=(

1

2

)n-1lg2，即a_n=221-n；
（2）由an+1=

an+a

，得an+12=an+a，①
當n≥2時，

a

2 n

=a_n-1+a，②
①-②，得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，
由已知可得a_n＞0，∴a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號，
∵a₂=

2a+2

，且a＞0，∴

a

2 1

-

a

2 2

=（a+2）²-（2a+2）=a²+2a+2＞0恒成立，
∴a₂-a₁＜0，則a_n+1-a_n＜0．
∵b_n=|a_n+1-a_n|，∴b_n=-（a_n+1-a_n），
∴S_n=-[（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n+1-a_n）]=-（a_n+1-a₁）=a₁-a_n+1＜a₁．

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列求解數列的通項公式及疊加法求解數列的和方法的應用，試題具有一定的綜合性，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．