Question

（2010•南寧二模）已知四棱錐中P-ABCG中，底面ABCG是矩形，D為AG的中點，BC=2AB=2，又PB⊥平面ABCG，且PB=1，點E在棱PD上，且DE=2PE
（Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求證：BE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（I）取BC中點F，連接AF，可以證出四邊形ADCF是平行四邊形，得到CD與AF互相平行，從而得到AF與PA所成的直角或銳角就是異面直線PA與CD所成的角，再利用垂直關系和已知的線段長可計算出△PAF是等邊三角形，故異面直線PA與CD所成的角為60°；
（II）利用中線等于一邊的一半證明出CD⊥BD，結合CD⊥PB得到CD⊥平面PBD，從而CD⊥BE．再在Rt△PBD中利用已知線段的長可以算出PE=

3

3

PB，從而利用相似三角形證出BE⊥PD，結合線面垂直的判定定理，得到BE⊥平面PCD．

解答：解：（Ⅰ）取BC中點F，連接AF，則CF=AD且CF∥AD
∴四邊形ADCF是平行四邊形⇒AF∥CD
∴∠PAF（或其補角）為異面直線PA、CD所成的角
∵PB⊥平面ABCG，BA、BF是平面ABCG內的直線
∴PB⊥BA，PB⊥BF
∵PB=AB=BF=1，AB⊥BC
∴PA=PF=AF=

2

⇒△PAF是等邊三角形，∠PAF=60°
∴異面直線PA與CD所成的角為60°
（II）由（I）知，CF=BF=DF
∴∠CDB=90°⇒CD⊥BD
又∵PB⊥平面DBC⇒PB⊥CD
∵PB∩BD=B
∴CD⊥平面BDP⇒CD⊥BE
在Rt△PBD中，PB=1、BD=

2

∴PD=

PB2+BD2

=

3

∵DE=2PE，得PE=

3

3

∴

PE

PB

=

PB

PD

=

3

3

⇒△PBE∽△PDB
∴BE⊥PD
∵CD∩PD=D
∴BE⊥平面PCD

點評：本題是一道立體幾何的綜合題，著重考查了直線與平面垂直的判定和異面直線及其所成的角等知識點，屬于中檔題．